Act 3. Hiperbola

Definición

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola

También podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos P  tales que la diferencia de las distancias de P a dos puntos fijos F1 y F2 es constante.

Los puntos F1 y F2 se llaman focos de la hipérbola.

Así, la hipérbola es el conjunto de puntos P que satisfacen:

| d(P,F) - d(P,l) |=2a

Elementos

• El centro (O) es el punto medio de los focos.
• El eje focal o eje mayor es la recta que pasa por los focos.
• El eje no focal o eje menor es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro.
• La hipérbola es simétrica respecto a estos dos ejes, por lo que también se les llama ejes de simetría.
• Los vértices (V1 y V2) son los puntos donde la hipérbola corta al eje focal.
• La distancia entre los vértices es igual a la constante 2a que aparece en la definición de la hipérbola



Teorema

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en

es



con eje transversal horizontal. Y

con eje transversal vertical

Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de   unidades del centro. Además 

Procedimiento

• Cualquier punto de la hipérbola cumple:

• Esta expresión da lugar a:

• 
  

  Realizando las operaciones llegamos a:

 
 
 
 
Ecuacion General
 

Si el centro de la hipérbola es C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀) y F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de la hipérbola será:

 

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Resumen

 

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

• El centro está en 



• Los vértices están en

• Los focos están en



Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

• El centro está en

• Los vértices están en

• Los focos están en 

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a  y 2b  y centro en



El segmento recto de longitud 2b  que une                                      

se llama eje conjugado de la hiperbola.

Ejemplo

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Completando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro está en

El eje de la hipérbola es horizontal

Los vértices están en



 Los focos en

La excentricidad es

 



Referencias Previas

• Cónicas (circunferencia, elipse, parabola)
• Ecuasiones de primer y segundo grado
• Geometria 
• Algebra
• Graficación segun el plano cartesiano 

Nature by Numbers

Act 2. Triángulo

Triángulo: es un polígono de 3 lados que se unen entre sí formando tres vértices o esquinas (de ahí su nombre de tri-ángulo) y que son además finitas desde un vértice hasta el otro, mientras que los segmentos de rectas determinados reciben el nombre de lados del triángulo.

Un triángulo cuenta con tres lados, tres vértices y tres ángulos interiores. Es habitual que se conozcan por el nombre de sus vértices, designados con letras mayúsculas. Ejm.: ABC

Clasificación según la Amplitud de sus Ángulos

• Acutángulo: sus tres ángulos interiores son agudos.
• Rectángulo: cuenta con un ángulo interior recto, formado por dos lados conocidos como catetos, mientras que el restante recibe el nombre de hipotenusa.
• Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.

Clasificación según el Tamaño de sus Lados

• Equilátero:  sus tres lados tienen la misma longitud.
• Isósceles: dos de sus lados tienen la misma longitud.
• Escaleno: todos sus lados tienen diferentes longitudes. 

Rectas y Puntos Notables

• Altura: la recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por el vértice opuesto.

La altura  respecto del lado 'a'=BC, se denota por h_a

La altura  respecto del lado 'b'=AC, se denota por h_b 

La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por h_c

 

Nota 1: Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo)

Si el triángulo es RECTÁNGULO:

La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo  

Si el triángulo es ACUTÁNGULO:

Las tres alturas son interiores al triángulo 

Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:

La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo

Nota 2:  En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos iguales.

• Mediana: la recta que une el vértice correspondiente del triángulo con el punto medio del lado opuesto

Mediana correspondiente al vértice A, se denota por  m_A

Mediana correspondiente al vértice B, se denota por  m_B 

Mediana correspondiente al vértice C, se denota por  m_C

 



• Mediatriz: la recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por su punto medio

La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por M_a
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por M_b
La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por M_c

• Bisectriz: recta que pasando por uno de sus vértices, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales. Todo triángulo ABC tiene tres bisectrices

Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por b_A
Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por b_B
Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por b_C

• Ortocentro: punto de intersección de las tres altitudes de un triángulo

El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto.
El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo.
El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.

• Baricentro: es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados de un triángulo

  
  

  

  
  

  El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto.

  • Circuncentro: punto de intersección de las tres mediatrices de cada uno de los lados de un triángulo.

  
  

  

  
  

  1. El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
  2. El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo.
  3. El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.

  
  

  • Incentro: punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los lados de un triángulo
    
    
    
    
    
    El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo
    
    
    ACTIVIDAD 2
    
    
    En el video mostrado se denota uno de los conceptos que se definió en esta publicación que es la mediatriz
    
    
    
    
    
    Como se muestra en la siguiente imagen que se transmite en el video, al tomar los dos puntos rojo y azul, trazamos una línea que los une y después otra perpendicular a esta justo por la mitad, encontrando así la mediatriz del segmento de unión de estos dos puntos, que se pudiera denotar como si fuera uno de los lados del triángulo.
    Al añadirle un tercer punto verde como se denota en la imagen generamos dos nuevas mediatrices que se interseccionan con la primera.
    
    
    
    
    Opinión Personal
    
    
    A primera vista no entendí la esencia del video, me pareció llamativo ya que formas geométricas se relacionaban con la naturaleza como lo es la libélula y los polígonos de sus alas, más a través de leer el apartado que explicaba cada uno de los conceptos y teorías que el video explicaba fue más fácil entenderlo y me quede impresionada de lo sabía que puede ser la naturaleza y que en simples detallas que podemos encontrar hay matemática inculcada.
    
    
    
    http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm